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Keywords:
corps parfait; degré d’imperfection; degré d’irrationalité; exposant; extension simple; modulaire; purement inséparable; relativement parfaite
corps parfait; degré d’imperfection; degré d’irrationalité; exposant; extension simple; modulaire; purement inséparable; relativement parfaite
Summary:
Dans [Swe], Sweedler a caractérisé les extensions purement inséparables $K/k$ d'exposant fini qui sont produit tensoriel d'extensions simples. En vue d'étendre ce résultat aux extensions d'exposants non bornés, L. Kime dans [Kim] propose les extensions $k(x^{p^{-\infty }})=k(x^{p^{-1}},x^{p^{-2}},\dots)$ comme généralisation d'extensions simples. Dans ce travail, on propose d'autres généralisations naturelles. Ceci nous a permis de décrire explicitement toutes les extensions purement inséparables $K/k$ lorsque le degré d'imperfection de $k$ est $\leq 2$. Dans [Dev2] J. K. Deveney a construit une extension purement inséparable $K/k$ infinie ayant toutes ses sous-extensions propres $L/k$ finies et telle que pour tout entier $n$, $[k^{p^{-n}}\cap K,k]=p^{2n}$ ($p$ étant la caractéristique de $k$). Cet exemple s'est avéré fort utile pour notre travail. On construit pour tout entier $j$ une extension purement inséparable $K/k$ infinie ayant toutes ses sous-extensions propres $L/k$ finies et telle que pour tout entier $n$, $[k^{p^{-n}}\cap K,k]=p^{jn}$. Soit $K/k$ une extension purement inséparable, $M/k$ la plus petite sous-extension de $K/k$ telle que $K/M$ est modulaire, on montre que si le degré d'imperfection de $k$ est fini, alors $M$ est non triviale $(M\neq K)$; si le degré d'imperfection de $k$ est infini on donne un contre-exemple où $M=K$.
References:
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